Indicazioni nazionali di Matematica per i Licei. Una lettura critica

UNO SGUARDO SINTETICO SULLE NUOVE INDICAZIONI PER I LICEI

Importante avere nuove indicazioni…

Prima di entrare nello specifico delle indicazioni curricolari di matematica, vorrei precisare che ritengo importante che siano state prodotte delle nuove Indicazioni curricolari.

Infatti, sono passati ormai sedici anni da quando furono adottate le indicazioni per i Licei attualmente vigenti (decreto del 7 ottobre 2010) e il contesto economico, sociale e culturale ha subito e sta subendo trasformazioni che non possono non avere implicazioni sugli interessi e sulle esigenze formative delle studentesse e degli studenti. Penso, per esempio, ai problemi legati alle grandi migrazioni, ai cambiamenti climatici, alle disuguaglianze sociali ed economiche che caratterizzano non solo i Paesi poveri rispetto a quelli ricchi, ma anche le dinamiche interne ai Paesi con PIL elevato, dove le crescenti disuguaglianze sociali ed economiche creano tensioni difficilmente gestibili. Penso anche al problema di gestire le enormi risorse e i grandi rischi legati all’uso dei sistemi di intelligenza artificiale generativa.

Un sistema di istruzione ed educazione deve essere reattivo di fronte a questi cambiamenti e, pur nella necessaria attenzione a riflettere su come e quanto sia opportuno preservare della tradizione, non può non ripensare alla definizione di quelle conoscenze e competenze che le studentesse e gli studenti devono conseguire per esercitare il loro diritto-dovere di partecipare attivamente, in modo informato, consapevole e critico alla vita pubblica.

Prima di passare alla lettura analitica, riporto alcune considerazioni sintetiche che spero diano già un’idea abbastanza chiara dei punti di forza e di criticità delle nuove Indicazioni per i Licei, anche attraverso un confronto con quelle del 2010.

…ma troppi contenuti e obiettivi

La percezione immediata che si ha a una prima lettura è di un’eccessiva densità di contenuti e obiettivi da conseguire, soprattutto se si tiene conto dei quadri orari.

Questa percezione di eccessiva densità vale per tutte le tipologie di liceo, ma soprattutto per quelle che, come per esempio il liceo linguistico, hanno un quadro orario settimanale inadeguato a poter garantire alla maggior parte delle studentesse e degli studenti il conseguimento di tutti gli obiettivi elencati.

Le e gli insegnanti che lavorano in queste tipologie di Liceo, negli ultimi tre anni di corso, dispongono solo di due ore settimanali per aiutare le studentesse e gli studenti ad apprendere (dovendo anche tenere conto dei diversi stili di apprendimento e quindi delle esigenze di ciascuna e di ciascuno), per valutare gli apprendimenti e per il recupero strutturato (almeno quello curricolare).

Chi insegna nella scuola sa bene, inoltre, che il numero di ore previsto dal quadro orario è solo teorico: assenze, attività di istituto, festività, chiusura delle scuole per motivi eccezionali, assemblee di classe o di istituto … concorrono a ridurre notevolmente le ore disponibili e, quando questa riduzione colpisce un corso con due sole ore settimanali, diventa difficile, se non impossibile, rispettare un piano didattico anche poco ambizioso. È chiaro che, una situazione come questa, spesso acuita da classi abbastanza numerose, comporta grandi difficoltà, se non impossibilità, di portare a termine obiettivi numerosi e ambiziosi, come quelli che sono proposti in genere nelle Indicazioni.

Questa considerazione, se condivisa dalla maggior parte degli addetti ai lavori, dovrebbe comportare una revisione delle Indicazioni nell’ottica di ridurre contenuti e obiettivi.

Penso che questo sia il punto di maggiore criticità delle Indicazioni. Intendiamoci: so bene, anche per esperienza personale, quanto sia difficile riuscire a individuare competenze, obiettivi e conoscenze davvero essenziali. Avere successo in questo compito vuol dire fare scelte, spesso dolorose, che magari impattano su tradizioni e prassi consolidate, che magari sono significative dal punto di vista culturale e che possono anche essere importanti per la formazione.

D’altra parte, se non si ha il coraggio di fare queste scelte dolorose, il risultato è quello di dare vita a Indicazioni che magari hanno una forte coerenza interna, hanno un senso per gli esperti, ma appaiono poco sensate per chi deve realizzare gli obiettivi specifici di apprendimento e conseguire le competenze elencate.

Nelle Indicazioni del 2010, la scelta era stata quella di dare indicazioni piuttosto generiche, probabilmente auspicando che, in questo modo, l’insegnante avrebbe poi scelto, grazie all’esercizio della libertà di insegnamento, percorsi adeguati a conseguire le competenze attese e gli obiettivi specifici di apprendimento indicati. Questo, però, vuol dire lasciare molta, forse troppa, responsabilità all’insegnante.

Consideriamo, per esempio, questo passo tratto dalle Indicazioni del 2010 relativo all’ambito Aritmetica e Algebra (primo biennio dei licei scientifici):

“Lo studente apprenderà gli elementi di base del calcolo letterale, le proprietà dei polinomi e le operazioni tra di essi. Saprà fattorizzare semplici polinomi, saprà eseguire semplici casi di divisione con resto fra due polinomi, e ne approfondirà l’analogia con la divisione fra numeri interi. Anche in questo l’acquisizione della capacità calcolistica non comporterà tecnicismi eccessivi”.

Come comportarsi di fronte a questa indicazione? Vero che compare la precisazione di evitare “tecnicismi eccessivi”, ma come capire quando un tecnicismo diventa eccessivo? L’insegnante potrebbe non avere il coraggio di fare scelte drastiche, che davvero rendano realizzabile il conseguimento di questo obiettivo. Potrebbe quindi rifugiarsi nella prassi tradizionale, che ha sempre dedicato alla padronanza delle tecniche di calcolo algebrico un investimento ingente in termini di risorse di tempo; allo stesso modo potrebbe comportarsi chi scrive libri di testo. Il risultato sarebbe quello di una riduzione poco significativa che creerebbe problemi al conseguimento di altri obiettivi, meno cari alla prassi didattica e magari più importanti e significativi per la formazione di una studentessa o di uno studente che vive nel contesto odierno, come per esempio quelli relativi alla rappresentazione e analisi di dati e alle scelte in condizioni di incertezza.

Un passo avanti delle indicazioni del 2026

Le Indicazioni del 2026 hanno fatto un passo avanti apprezzabile su questo punto.

Quanto ho appena affermato può sembrare a prima vista paradossale: infatti, rispetto alle Indicazioni del 2010, quelle del 2026 sono più dettagliate e articolate in modo esplicito; ciò implica, da una parte, un aumento del numero di obiettivi e di conoscenze che compaiono esplicitamente, ma, dall’altra, comporta anche una precisazione degli obiettivi e delle conoscenze da conseguire, riducendo i margini di incertezza che possono determinarsi a causa di un testo meno puntuale.

Come ho accennato sopra, un testo poco puntuale e poco dettagliato, come quello delle Indicazioni del 2010, comporta, inevitabilmente, una delega di responsabilità a chi insegna nelle scelte dei contenuti da proporre e degli obiettivi da conseguire, con il risultato che questi possono essere percepiti come più ampi e numerosi di quanto magari non fosse nelle intenzioni di chi ha prodotto il documento ministeriale.

Per esempio, relativamente allo stesso tema, Aritmetica e Algebra le Indicazioni del 2026 per il primo biennio del liceo scientifico propongono il seguente passo:

“manipolare e trasformare espressioni letterali, come il quadrato di una somma di termini, la differenza di due quadrati e la somma di semplici frazioni algebriche, in funzione degli obiettivi che si hanno, comprendendo il significato che tali espressioni e trasformazioni assumono in diversi contesti e situazioni”.

La precisazione di quali espressioni letterali “trasformare”, delimita il campo di ciò che le studentesse e gli studenti dovranno saper fare. Si sta dicendo che ci si può fermare a quelle espressioni. La libertà di insegnamento non è messa in discussione, perché si può sempre fare di più e, soprattutto, ogni insegnante può scegliere percorsi caratterizzati da diverse scansioni logico-sequenziali. Al tempo stesso si precisa ciò che è essenziale, e si tratta di una parte molto ridotta rispetto a quelle tecniche che si cerca di far apprendere, in genere, nella prassi tradizionale.

Per cercare di chiarire questo punto, che mi sembra molto importante, propongo un altro esempio puntuale.

Le Indicazioni del 2010 per primo biennio del Liceo scientifico riportano la seguente frase relativamente all’ambito Geometria:

“Il primo biennio avrà come obiettivo la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano. Verrà chiarita l’importanza e il significato dei concetti di postulato, assioma, definizione, teorema, dimostrazione, con particolare riguardo al fatto che, a partire dagli Elementi di Euclide, essi hanno permeato lo sviluppo della matematica occidentale”.

È vero che poi si precisa che l’approccio euclideo non dovrà essere ridotto a una trattazione puramente formale e si indicano alcuni contenuti specifici, ma queste precisazioni sembra che abbiano più lo scopo di mettere in evidenza alcuni argomenti a cui si dovrà dare particolare importanza, più che circoscrivere quello che necessariamente dovrà essere insegnato e appreso. Quindi è difficile che chi insegna si prenda la responsabilità di fare scelte che consentano di diminuire notevolmente il tempo che tradizionalmente era assegnato alla geometria. In genere, in assenza di indicazioni precise, si tende a seguire la strada della prassi didattica tradizionale, cioè della lunga e faticosa costruzione della teoria euclidea, sottraendo tempi e risorse preziose ad altri argomenti e obiettivi; oppure si evita di trattare l’argomento o lo si riduce alla mera memorizzazione di alcune conoscenze che non contribuiscono a una formazione matematica matura.

Invece, nelle Indicazioni del 2026 per il biennio del liceo scientifico, alla voce “Geometria”, si dice:

“[…] riconosce la struttura assiomatica della geometria euclidea e comprende, anche attraverso la discussione del V postulato, il ruolo degli assiomi come scelte fondative da cui si sviluppa un sistema di teoremi; dimostra, nell’ambito di tale sistema, alcuni risultati classici, come il Teorema di Pitagora e il suo inverso, le proprietà dei parallelogrammi, la relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza, i teoremi di Euclide, i criteri di similitudine per i triangoli”.

Qui l’indicazione di evitare una costruzione della teoria euclidea è abbastanza esplicita: il suggerimento è quello di contribuire a far comprendere i significati dei termini assioma, definizione, teorema, dimostrazione non attraverso la costruzione del sistema ipotetico-deduttivo euclideo, ma attraverso la proposta e la discussione di alcuni postulati e teoremi che vengono esplicitamente indicati.

Conoscenze e obiettivi possono anche essere numericamente più numerosi, ma il dettaglio con cui sono presentati riduce notevolmente il rischio di interpretazioni che portino a pensare di dover dedicare, per conseguire quegli obiettivi, un tempo molto maggiore di quello previsto da chi ha scritto le Indicazioni.

In altri termini, considero un passo avanti rispetto alle Indicazioni del 2010 l’aver precisato con maggior dettaglio obiettivi e conoscenze oggetto di apprendimento: ciò aiuta insegnanti, autrici o autori di libri di testo, formatori e formatrici a ridurre il rischio di interpretazioni distorte.

Nonostante ciò, le Indicazioni del 2026 sono ancora troppo ambiziose: gli obiettivi specifici di apprendimento sono troppo numerosi, soprattutto, ma non solo, per i licei non scientifici che possono contare su un numero di ore davvero esiguo.

Ritengo quindi necessario pensare a una forte riduzione del numero degli obiettivi specifici di apprendimento oppure, almeno, evidenziare chiaramente i pochi obiettivi che sono da considerarsi prescrittivi e quelli che, invece, possono essere opzionali: non farlo equivale a rendere, di fatto, non solo irraggiungibile un gran numero di questi obiettivi, ma comporta anche il rischio di apprendimenti mnemonici, poco significativi, orientati alla prestazione e al prodotto e non alla costruzione di significato, attività che richiede tempi lunghi e nessuna “ansia da prestazione”, né per le studentesse e gli studenti, né per l’insegnante.

Nella successiva analisi dettagliata delle Indicazioni di matematica ho provato a suggerire alcuni possibili esempi di linee di intervento, che in ogni caso andrebbero ancora potenziate.

Ulteriori osservazioni

Osservo, a margine, che mentre nel primo ciclo nelle Indicazioni si precisa che solo i traguardi di competenza e gli obiettivi (e non le conoscenze) sono irrinunciabili, nelle Indicazioni per i Licei non ho trovato questa precisazione e mi piacerebbe sapere perché.

Un’altra osservazione su cui mi sembra utile riflettere è che le competenze oggetto di insegnamento-apprendimento hanno una forte intersezione per quel che riguarda le varie tipologie di liceo: questo potrebbe a prima vista sorprendere, perché i profili di uscita delle studentesse e degli studenti di diverse tipologie di liceo dovrebbero essere sensibilmente differenti. Una riflessione più meditata porta però a concordare sul fatto che, almeno per il primo biennio (che conclude l’obbligo scolare), i profili non debbano distinguersi troppo: è logico auspicare e attendersi che all’uscita dell’obbligo scolastico le studentesse e gli studenti abbiano profili molto simili. Inoltre, il profilo di uscita di una studentessa o di uno studente, soprattutto nei licei non scientifici, si gioca su altre discipline maggiormente caratterizzanti rispetto alla matematica.

È però vero che, se la matematica si considera disciplina fondamentale per la formazione alla cittadinanza, forse sarebbe meglio ridurre il divario orario settimanale tra i licei scientifici e quelli non scientifici aumentando di almeno un’ora settimanale all’anno il quadro orario dei licei non scientifici; inoltre, come sopra ho suggerito, bisognerebbe ridurre il numero di obiettivi specifici di apprendimento che sono essenziali (cioè finalizzati alla formazione alla cittadinanza) e precisare che questi obiettivi, essenziali e prescrittivi, sono gli stessi per tutte le tipologie di Liceo (ciò vorrebbe dire precisare anche che gli altri obiettivi previsti per il biennio dei licei scientifici hanno un mero valore di propedeuticità al prosieguo nel secondo biennio).

Ci sono aspetti che considero molto positivi in queste Indicazioni: l’attenzione alle competenze argomentative, agli aspetti comunicativi, alle caratteristiche del linguaggio della matematica e alla razionalità del discorso matematico, all’evoluzione storica del pensiero matematico, all’uso consapevole e critico degli strumenti di intelligenza artificiale generativa con il riferimento esplicito a quei contenuti di matematica (algebra lineare, probabilità, statistica) che possono aiutare a comprendere come funzionano questi strumenti.

Ribadisco, però, che molto ancora rimane da fare: ridurre, tagliare, anche quando la riduzione e il taglio sono dolorosi, perché comportano la rinuncia ad argomenti che possono sicuramente avere un valore culturale, ma che, se manca il tempo per interiorizzarli, rischiano di essere controproducenti, perché le attività centrate su essi rischiano di ridursi a sterili rituali che possono addirittura allontanare studentesse e studenti dall’attività matematica. Inoltre, rischiano di creare forti ansie a chi insegna, che, proprio per questo, tende a rifugiarsi in una didattica trasmissiva, con poca attenzione ai tempi e agli stili cognitivi di ciascuna studentessa e di ciascuno studente.

La necessaria formazione

Concludo con una breve riflessione sulla formazione docente: l’attuazione di nuove Indicazioni curricolari non può non essere accompagnata da una seria formazione in servizio che preveda momenti di confronto in presenza tra formatori e docenti anche con temporanei distacchi dal servizio delle e dei docenti che partecipano alla formazione.

Penso sia necessaria una formazione sullo stile di quella che venne messa in atto con il Piano Nazionale dell’Informatica. Solo in questo modo sarà possibile avviare una riflessione che consentirà, ove necessario, di modificare quegli approcci all’insegnamento-apprendimento che eventualmente non dovessero risultare coerenti con lo spirito delle Indicazioni.

Sperare che le Indicazioni possano davvero realizzarsi senza un intervento di questo tipo, che comporta forti investimenti in termini di risorse intellettuali ed economiche, temo sia vano.

* Domingo Paola è stato docente di matematica e fisica nella scuola secondaria di secondo grado, ha collaborato con diversi gruppi di ricerca in didattica della matematica e attualmente fa parte del Laboratorio di Didattica della Matematica dell’Università di Genova.

UNA LETTURA ANALITICA DELLE NUOVE INDICAZIONI PER I LICEI DI MATEMATICA

Passo ora all’analisi delle indicazioni di matematica.

Le considerazioni che seguono valgono, in generale per tutti i Licei; nella lettura analitica che proporrò successivamente, poiché le tipologie di Liceo sono molto numerose, mi riferirò solo alle indicazioni per i licei:

scientifico, che ha il quadro orario settimanale più consistente per quel che riguarda la matematica (5 ore settimanali al primo e secondo anno; 4 ore settimanali dal terzo al quinto anno);
classico e linguistico che fanno parte delle scuole con il quadro più debole per la matematica (3 ore settimanali al primo e secondo anno; 2 ore settimanali dal terzo al quinto anno)

La scelta è stata anche determinata dalla considerazione che i licei scientifici, classico e linguistico, insieme al liceo delle scienze umane, sono quelli maggiormente frequentati dalle studentesse e dagli studenti e dalla considerazione che, se si eccettuano gli approfondimenti, indicati alla fine del quinto anno, le differenze tra le indicazioni relative alla matematica, per le varie tipologie di liceo, non sono poi così numerose.

Parti generali nelle indicazioni di matematica

Introduzione allo studio della matematica e delle discipline scientifiche

Questa parte generale non presenta alcuna diversificazione per le tre tipologie di licei presi in considerazione (scientifico, classico, linguistico).

La matematica viene caratterizzata sia come “creazione autonoma del pensiero”, sia come “linguaggio unificante di tutte le scienze e tecniche” e, in particolare, come strumento di rappresentazione e costruzione di modelli interpretativi e predittivi.

Particolarmente apprezzabile, a mio avviso, l’enfasi posta, in questa parte, all’importanza dell’osservazione, dell’esplorazione, della produzione di congetture e della loro validazione mediante argomentazioni.

Altrettanto apprezzabile mi sembra il riconoscimento esplicito dell’errore come occasione di crescita formativa.

Segnalo ancora, come elemento di positività, il riferimento esplicito all’uso “consapevole dell’intelligenza artificiale, la comprensione delle sue implicazioni sociali ed etiche”: in un momento in cui emerge con sempre maggiore evidenza il pericolo che gli strumenti di intelligenza artificiale contribuiscano a diminuire la nostra capacità di prendere decisioni e di agire con consapevolezza, una riflessione critica, a scuola, sulle risorse e i rischi connessi all’uso di questi strumenti è quanto mai necessaria. La scuola è infatti il contesto più adeguato a offrire alle studentesse e agli studenti quelle competenze necessarie a un approccio più consapevole e critico all’uso di questi strumenti.

Quello che invece mi sembra una criticità, relativamente all’uso degli strumenti di intelligenza artificiale, è la progressione didattica degli obiettivi che dovrebbero suggerire una progressione delle attività che dovranno essere realizzate in classe per garantire un approccio realmente consapevole e critico a questi strumenti. Mi sembra che queste Indicazioni, sotto questo aspetto, siano piuttosto vaghe; si corre quindi il rischio che l’insegnante realizzi un approccio sporadico, a macchia di leopardo, magari con approcci didattici poco adeguati a favorire quella postura consapevole e critica che le Indicazioni, meritoriamente, predicano.

Perché studiare la matematica

Anche questa parte non presenta alcuna diversificazione per le diverse tipologie di licei.

Mi sembra importante che, anche in questa parte, compaia un riferimento esplicito all’opportunità di confrontare le proprie idee con quelle degli altri: scegliere l’argomentazione e il confronto con gli altri come modalità privilegiate per sostenere le proprie idee comporta un atteggiamento culturale che potrebbe non essere semplice da assumere e che richiede, in particolare in alcune situazioni, interventi didattici mirati.

Nuovamente apprezzabile è il riferimento esplicito all’opportunità di comprendere il funzionamento dei sistemi di intelligenza artificiale, soprattutto perché l’indicazione è coerente, come vedremo, con alcune delle conoscenze matematiche esplicitamente richiamate negli obiettivi specifici e di apprendimento.

Linee generali e competenze

Su questa parte è possibile fare un confronto non solo tra i tre diversi tipi di liceo che ho preso in considerazione, ma anche con la corrispondente parte delle Indicazioni del 2010.

Osservo, innanzitutto che, in questa parte, le differenze tra i tre diversi tipi di liceo sono minime: è vero che si tratta di linee generali e che la differenza dei profili di uscita delle studentesse e degli studenti dei tre licei si può giocare su altre discipline, ma, forse, una maggiore diversificazione nelle competenze (magari distinguendo tra quelle che dovranno essere conseguite da tutte le studentesse e da tutti gli studenti alla fine dell’obbligo scolare) sarebbe stata più coerente con il quadro orario assai differenziato, sia nel primo biennio, sia nel secondo biennio, sia nel quinto anno.

A fine percorso, le studentesse e gli studenti del liceo scientifico avranno avuto a disposizione, per la loro formazione, 726 ore, mentre le studentesse e gli studenti dei licei classico e linguistico solo 396 ore, cioè poco più della metà delle ore previste nel liceo scientifico.

D’altra parte, le competenze precisate in questa parte, che sono prescrittive in quanto descrivono un profilo di uscita delle studentesse e degli studenti, possono anche essere conseguite con obiettivi specifici di apprendimento e conoscenze che presentano differenze: quindi, per individuare differenze tra le varie tipologie di Liceo bisognerà cercare tra gli obiettivi specifici di apprendimento e, soprattutto, tra le conoscenze.

Le uniche differenze, relative alla parte “linee generali e competenze”, tra il liceo classico e il liceo scientifico sono:

nella competenza elencata al sesto punto dell’elenco che, per il liceo scientifico, è “applicare i modelli matematici studiati alla descrizione dei fenomeni del mondo reale, con particolare attenzione a quelli di carattere fisico”, mentre per il liceo classico è stata ridotta: “applicare i modelli matematici studiati alla descrizione dei fenomeni del mondo reale”;
nell’ultima competenza elencata che, per il liceo scientifico, è “riconoscere alcune connessioni tra matematica, filosofia e pensiero scientifico nella loro evoluzione storica essendo consapevole del ruolo della matematica nei diversi ambiti dell’attività umana”, mentre per il liceo classico recita “riconoscere alcune connessioni tra matematica e filosofia nel mondo classico e discutere la loro evoluzione dall’epoca dei greci all’età contemporanea, essendo consapevole del ruolo della matematica nei diversi ambiti dell’attività umana”.

Le differenze, relative alla parte “linee generali e competenze”, tra il liceo linguistico e il liceo scientifico sono più diversificate e numerose.

Innanzitutto, segnalo una frase che è stata aggiunta nell’introduzione a questa parte, specifica per il liceo linguistico, che recita:

“nel Liceo Linguistico, lo studio della Matematica assume inoltre un ruolo specifico nel rafforzare le competenze linguistiche e comunicative, poiché favorisce la consapevolezza del rapporto tra linguaggio naturale e linguaggio formale, la precisione semantica, la coerenza sintattica e la capacità di argomentare in modo pertinente ed efficace”.

Propongo poi la seguente tabella che si limita a segnalare le differenze (il numero che precede ciascuna competenza corrisponde al numero d’ordine con cui la competenza compare nelle indicazioni):

Liceo scientifico	Liceo linguistico
4. comunicare in e con la matematica, utilizzando linguaggi e notazioni appropriate	4. comunicare in e con la matematica, utilizzando linguaggi e notazioni appropriate, e facendo uso del lessico scientifico in lingua straniera, quando opportuno
Non esiste una competenza strettamente identificabile con la quinta competenza dell’elenco del liceo linguistico, se non la settima competenza elencata: “leggere criticamente dati quantitativi e grafici”, che richiama una parte della quinta competenza dell’elenco del liceo linguistico	5. comprendere, produrre e valutare testi che contengono dati quantitativi, grafici e informazioni numeriche, anche in lingua straniera, in contesti scientifici, economici, sociali e culturali.
6. applicare i modelli matematici studiati alla descrizione dei fenomeni del mondo reale, con particolare attenzione a quelli di carattere fisico	6. applicare i modelli matematici studiati alla descrizione dei fenomeni del mondo reale
Non esiste una competenza strettamente identificabile con la dodicesima competenza dell’elenco del liceo linguistico	12. riconoscere le connessioni tra matematica e lingua naturale nella formazione dell’individuo
14. riconoscere alcune connessioni tra matematica, filosofia e pensiero scientifico nella loro evoluzione storica essendo consapevole del ruolo della matematica nei diversi ambiti dell’attività umana.	Non esiste una competenza strettamente identificabile con la quattordicesima competenza dell’elenco del liceo scientifico, se non la quattordicesima competenza dell’elenco del liceo linguistico che riassume in sé la tredicesima competenza dell’elenco del liceo scientifico e parte della quattordicesima: “fare collegamenti inter e pluridisciplinari, analizzare tappe significative dello sviluppo del pensiero matematico in relazione al contesto storico e culturale, essendo consapevole del ruolo della matematica nei molteplici ambiti dell’attività umana”

Come ho già anticipato, può sembrare poco ragionevole che le competenze che devono essere conseguite in un corso che mette a disposizione 726 ore siano altrettanto numerose e, nella loro sostanza, molto simili a quelle che devono essere conseguite in un corso che mette a disposizione 396 ore, cioè circa solo il 55% delle ore del liceo scientifico.

Bisogna però tenere conto del fatto che ciascuna delle competenze elencate può essere conseguita attraverso l’apprendimento di diverse conoscenze, di diversi livelli di approfondimento e, in molti casi, anche avvalendosi del supporto di altre discipline.

Per esempio, la competenza “costruire dimostrazioni, individuando e rendendo espliciti gli assunti, concatenando in modo rigoroso i passaggi logici e giungendo a conclusioni coerenti e fondate”, che compare in tutte e tre le tipologie di liceo prese in considerazione, può essere conseguita limitandosi alle cosiddette “isole deduttive” o “deduzioni locali” in cui si precisano ogni volta le proposizioni che possono essere utilizzate per la dimostrazione, senza la pretesa di dover dimostrare ogni proposizione utilizzata. Se si sceglie questa strada, senza preoccuparsi della costruzione di una teoria, dove sono precisati gli oggetti primitivi, gli assiomi e le specifiche regole inferenziali utilizzate, per poi effettuare dimostrazioni entro la teoria, il tempo da dedicare al conseguimento delle competenze indicate si riduce notevolmente.

Non a caso, nel penultimo periodo della parte “Linee generali e competenze” dei licei classico e linguistico si scrive:

“Le competenze andranno sviluppate e mobilitate in contesti e situazioni opportunamente scelti e richiederanno un livello di approfondimento e abilità tecnica calibrato in relazione alle specificità del percorso formativo”.

Sembra una considerazione ovvia e valida per ogni tipologia di Liceo, ma non compare esplicitamente nel liceo scientifico: ciò sembra suggerire di individuare percorsi ed effettuare scelte che consentano di conseguire le competenze indicate anche in presenza di numeri di ore disponibili significativamente differenti.

Forse, nell’ottica di un necessario ridimensionamento degli obiettivi specifici di apprendimento, le Indicazioni potrebbero essere ancora più esplicite su questo punto suggerendo di lavorare con l’approccio delle isole deduttive, evitando i lunghi tempi richiesti per la presentazione e costruzione del sistema teorico euclideo.

Confronto tra competenze nelle Indicazioni del 2010 e del 2026

Può essere utile un confronto tra le competenze elencate nelle Indicazioni del 2010 e quelle elencate nelle Indicazioni del 2026; limiterò il confronto ad alcune di quelle relative al liceo scientifico.

Quello che si nota immediatamente è che nella parte “Linee generali e competenze” delle Indicazioni del 2010 vengono soprattutto elencati concetti e metodi che dovranno essere oggetto di studio.

Per esempio, al primo punto dell’elenco che compare nelle “Linee generali e competenze” delle Indicazioni del 2010 si precisa che un obiettivo è studiare “gli elementi della geometria euclidea del piano e dello spazio entro cui prendono forma i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, assiomatizzazioni)”.

Se confrontiamo questo passo con la competenza più affine elencata nelle Indicazioni del 2026 (“costruire dimostrazioni, individuando e rendendo espliciti gli assunti, concatenando in modo rigoroso i passaggi logici e giungendo a conclusioni coerenti e fondate”) possiamo immediatamente constatare che la richiesta delle Indicazioni del 2010 ha due criticità che, invece non ha la competenza corrispondente delle Indicazioni del 2026:

rimanda troppo esplicitamente a un contenuto come se fosse l’unico (o quello più) adeguato a realizzare dimostrazioni e a riflettere sui procedimenti caratteristici del pensiero matematico;
rischia di essere percepita come molto più impegnativa: autori o autrici dei libri di testo, formatori o formatrici, insegnanti possono vedere dietro questa competenza l’esortazione a proporre alle studentesse e agli studenti la costruzione dell’intero edificio della geometria euclidea. Anche se nella parte relativa alla geometria si precisa poi che “l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente assiomatica” e, quindi, si dovrà lasciare spazio all’intuizione geometrica, è difficile sentirsi autorizzati a proporre percorsi, come quello delle isole deduttive, che possono ridurre notevolmente i tempi per “costruire dimostrazioni, individuando e rendendo espliciti gli assunti, concatenando in modo rigoroso i passaggi logici e giungendo a conclusioni coerenti e fondate”.

Queste considerazioni sono poi confermate da un’altra competenza elencata nelle Indicazioni del 2010 che richiede di conseguire “una chiara visione delle caratteristiche dell’approccio assiomatico nella sua forma moderna e delle sue specificità rispetto all’approccio assiomatico della geometria euclidea classica”.

Il secondo punto dell’elenco che compare nelle “Linee generali e competenze” delle Indicazioni del 2010 presenta le stesse criticità sopra precisate: si scrive che dovranno essere obiettivo di studio “gli elementi del calcolo algebrico, gli elementi della geometria analitica cartesiana, una buona conoscenza delle funzioni elementari dell’analisi, le nozioni elementari del calcolo differenziale e integrale”.

La genericità con cui è scritto questo passo rende difficile, in particolare per l’insegnante o per chi scrive libri di testo, fare scelte che si allontanino dalla tradizione, con la conseguenza di dover aggiungere i nuovi argomenti a tutto quello che già si faceva prima.

Considerazioni analoghe si potrebbero fare su altri punti: quello che, a mio avviso, si può concludere è che l’elenco proposto nelle Indicazioni del 2026 è un vero e proprio elenco di competenze e, nella sua precisazione successiva attraverso gli obiettivi specifici di apprendimento, circoscrive maggiormente quello che necessariamente dovrebbe essere realizzato e quindi offre suggerimenti espliciti sulle scelte che è possibile fare per pianificare i percorsi didattici.

Sempre come contributo alla necessaria riduzione di competenze, obiettivi specifici di apprendimento e contenuti, segnalo che, forse, la competenza “comprendere e applicare princìpi e concetti fondamentali dell’informatica per analizzare e modellare fenomeni e problemi” potrebbe essere omessa. Mi sembra infatti poco coerente con la scelta che è stata fatta di dedicare all’informatica solo il primo biennio dei licei e con obiettivi che, come vedremo, non vanno al di là di quelli elencati nelle Indicazioni del primo ciclo.

Obiettivi specifici di apprendimento e conoscenze (primo biennio)

Entriamo nella parte più specifica delle Indicazioni relative alla matematica.

L’impressione che hanno avuto molte colleghe e molti colleghi con cui ho parlato è quella di eccessiva densità di obiettivi e conoscenze. Si tratta di una critica che quasi sempre è stata avanzata nei confronti delle Indicazioni curricolari ed è comprensibile: quando si indica un obiettivo in termini di competenze o di conoscenze è sempre difficile precisare il livello di approfondimento e di estensione che si dovrebbe conseguire e chi ha il dovere di realizzare l’obiettivo teme di potersi trovare in difetto.

Una lettura più attenta delle Indicazioni può portare a riconsiderare e ridurre (ma non certo eliminare!) questa percezione di densità eccessiva. Penso si possa concordare sul fatto che, nonostante l’introduzione di alcuni nuovi argomenti (in particolare relativi all’intelligenza artificiale generativa, all’algebra e all’analisi matematica), le Indicazioni del 2026 dovrebbero creare meno ansie all’insegnante.

Vediamo ora se questa mia affermazione è corroborata dall’analisi relativa alla parte sugli obiettivi specifici di apprendimento e conoscenze che effettuerò secondo due direzioni:

un confronto tra gli obiettivi specifici di apprendimento e conoscenze previsti per le tre tipologie di Liceo considerate (scientifico, classico e linguistico)
un confronto tra gli obiettivi specifici di apprendimento e conoscenze previsti dalle Indicazioni del 2010 per il liceo scientifico e quelli previsti dalle Indicazioni del 2026 sempre per il liceo scientifico.

Allo scopo, per ogni ambito di contenuto, propongo una tabella che metta in evidenza le differenze tra le diverse tipologie di liceo e poi commento brevemente quelli che mi sembrano punti di forza e di criticità delle scelte relative a quell’ambito di contenuto, anche attraverso un confronto con gli obiettivi di apprendimento e le conoscenze delle Indicazioni del 2010 (confronto che limiterò al liceo scientifico).

Aritmetica e algebra

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
eseguire le operazioni fornendo risultati esatti oppure approssimati in modo opportuno	rappresentare i numeri sulla retta; usare scale graduate di diverso tipo
stimare l’errore che si può avere nel risultato di un’operazione come conseguenza dell’incertezza o dell’approssimazione che si ha sui dati di partenza
spiegare il significato della scrittura posizionale dei numeri decimali ed esprimerli come somma di potenze di dieci moltiplicate per le cifre corrispondenti
cogliere il significato delle procedure tradizionali di calcolo con carta e penna, basate sulla notazione posizionale, giustificarle e descriverle in situazioni semplici, anche scrivendo qualche numero in notazione binaria
illustrare i vantaggi computazionali e concettuali del sistema di numerazione posizionale rispetto ad altri, indicando come il primo abbia progressivamente sostituito il sistema romano e l’influenza che ciò ha avuto sullo sviluppo della scienza e della società

Emerge in modo evidente che nei licei classico e linguistico sono stati omessi gli obiettivi e le conoscenze che riguardano il calcolo approssimato e la scrittura posizionale di un numero. Invece nel liceo scientifico sono stati omessi gli obiettivi di rappresentare i numeri sulla retta e di usare scale di diverso tipo.

A mio avviso si tratta di scelte difficilmente giustificabili: il calcolo approssimato e gli elementi basilari per gestire le approssimazioni sono obiettivi strategici per la formazione di qualunque persona che desideri orientarsi nelle informazioni diffuse dai mezzi di comunicazione di massa verificando, appunto con stime e approssimazioni, la plausibilità di certe informazioni. Analogamente la scrittura posizionale è una conquista fondamentale del pensiero matematico e scientifico e non può non essere oggetto di apprendimento consapevole e profondo, il che comporta anche la considerazione dei vantaggi che tale sistema di numerazione ha rispetto ad altri sistemi e la capacità di giustificare le procedure di calcolo basate sulla notazione posizionale.

Allo stesso modo, l’uso della retta numerica come sistema di rappresentazione (ma in alcuni casi anche di risoluzione di problemi) e l’uso di scale graduate di diverso tipo non possono non far parte della formazione delle studentesse e degli studenti del liceo scientifico.

Molto apprezzabile, invece, che in tutte e tre le tipologie di liceo sia presente il seguente obiettivo:

Penso che la formulazione contenga due aspetti molto positivi e d’aiuto per l’insegnante (ma anche per gli autori e le autrici dei libri di testo): innanzitutto viene precisato il tipo di trasformazioni che le studentesse e gli studenti devono essere in grado di fare (quadrato della somma di termini, differenza di due quadrati e la somma di semplici frazioni algebriche). Questa precisazione consente di poter escludere, almeno per quel che riguarda ciò che deve necessariamente essere insegnato, gran parte di quelle tecniche di manipolazione che caratterizzano la prassi dell’insegnamento dell’algebra e che richiedono un gande investimento di tempo. Tra l’altro, i risultati delle prove INVALSI testimoniano che, nonostante le notevoli risorse dedicate in classe alla padronanza manipolativa di espressioni letterali, i benefici ottenuti sono del tutto trascurabili.

In secondo luogo, si precisa che la competenza di trasformare espressioni letterali va esercitata in funzione di un obiettivo e deve essere rivolta al significato che queste trasformazioni possono assumere in diversi contesti. In altri termini, si indica, in modo esplicito, che le manipolazioni di espressioni algebriche non dovrebbero essere fini a loro stesse, ma guidate da un obiettivo (rappresentare, generalizzare, risolvere un problema, dimostrare…); inoltre questo obiettivo deve contribuire a dare significato alle espressioni algebriche stesse, evitando il rischio che i significati evaporino invece di condensarsi nella formalizzazione.

C’è un obiettivo che, a mio avviso, può nascondere una criticità:

“riconoscere che esistono numeri positivi a che non possono essere espressi come quadrato di un numero razionale; usare il simbolo √a come un numero e razionalizzare espressioni del tipo (b+√a)^-1”.

La possibile criticità riguarda il termine “razionalizzare”.

Vero che, anche in questo caso, si esplicita a quale espressione si può limitare il conseguimento dell’obiettivo, ma il riferimento alle razionalizzazioni rischia di rinviare a prassi didattiche (calcoli con i radicali e razionalizzazioni) che difficilmente possono essere considerate necessarie per le esigenze di formazione matematica delle studentesse e degli studenti del terzo millennio.

Tra l’altro, se si considera il termine b come un qualunque numero reale (il che è del tutto lecito), ecco che l’espressione (b+√a)^-1 può concretizzarsi, per esempio, come (√2-√3+√5)^-1o in forme ancora più complesse, portando a un’eccessiva attenzione agli aspetti manipolativo-simbolici legati al calcolo con i radicali.

Forse sarebbe stato meglio evitare del tutto il riferimento alla razionalizzazione di espressioni e, almeno nei licei classico e linguistico, potrebbe essere opportuno evitare anche di accennare, nelle trasformazioni algebriche, alla “somma di semplici frazioni algebriche”. Tutto ciò sempre nella prospettiva di una necessaria riduzione del numero e della densità degli obiettivi specifici di apprendimento.

Nonostante queste perplessità, mi pare che il confronto con gli obiettivi specifici di apprendimento delle Indicazioni del 2010 (per il primo biennio del liceo scientifico sul tema aritmetica e algebra) sia a favore delle Indicazioni del 2026, almeno per quel che riguarda la realizzabilità dei percorsi. Nel 2010 si fa infatti un generico riferimento ai “metodi di calcolo dei radicali”. È vero che si precisa che l’acquisizione di questi metodi “non sarà accompagnata da eccessivi tecnicismi manipolatori”, ma non indicando quali metodi manipolatori vanno conseguiti si lascia la responsabilità di scelta alle e ai docenti e alle autrici o agli autori dei libri di testo; questa responsabilità può rischiare di tradursi in una sorta di ansia da prestazione.

Anche il riferimento delle Indicazioni del 2010 ai calcoli con le espressioni letterali, pur con la pregevole indicazione che i calcoli vanno finalizzati al conseguimento di un obiettivo, è generico e quindi lascia spazio a interpretazioni assai differenziate relativamente alla complessità delle espressioni letterali che dovranno o potranno essere considerate.

Infine, le indicazioni del 2010 inseriscono l’argomento dell’algebra lineare nel tema aritmetica e algebra (che invece le indicazioni del 2026 spostano al secondo biennio e introducono solo in parte nel primo biennio, e per il solo liceo scientifico, nel tema di Geometria) parlando anche di calcolo matriciale (che non è esplicitamente menzionato nelle Indicazioni del 2026).

Funzioni

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
riconosce problemi in cui occorre determinare i valori di una o più variabili che soddisfano simultaneamente diverse equazioni o disequazioni e descrive le soluzioni di tali problemi come intersezione e unione di opportuni insiemi, utilizzando correttamente i connettivi logici “e”, “o”	determina l’insieme delle soluzioni di qualche sistema di equazioni in una o più incognite che incontra in situazioni di interesse e interpreta il significato del sistema e delle soluzioni nei relativi contesti
descrive in modo adeguato, dato un numero b ≥ 0, un algoritmo di tipo bisezione, che consente di determinare una sequenza di numeri x_j che approssima la radice quadrata di b con un errore minore di una quantità prefissata
esplora le proprietà della funzione esponenziale f(k)=a^k, con k intero non negativo, e la utilizza come modello per descrivere l’evoluzione di fenomeni naturali; in contesti significativi ne estende il dominio ai numeri negativi
estende, per periodicità, le funzioni goniometriche sinx, cosx, tanx, motivato dalla necessità di descrivere fenomeni e dispositivi oscillanti, e ne rappresenta qualitativamente i loro grafici

Il concetto di funzione è fondamentale nella costruzione del sapere matematico e anche come strumento di rappresentazione attraverso la costruzione di modelli descrittivi e predittivi. È quindi condivisibile la scelta di dargli un ampio spazio già a livello di biennio, cioè di scuola dell’obbligo, in tutte le tipologie di liceo. Inoltre, in questo caso, le Indicazioni tengono in forte considerazione la differenza di quadro orario tra il liceo scientifico e i licei classico e linguistico: infatti l’obiettivo che compare solo nei licei classico e linguistico è in fondo contenuto nel primo degli obiettivi che ho elencato nella tabella, mentre i tre obiettivi successivi della prima colonna non compaiono proprio nei licei classico e linguistico. Non vi sono altre differenze, se non una che segnalo, ma che penso si tratti di un refuso: nell’obiettivo (che compare nei licei classico e linguistico)

“rappresenta il grafico e descrive il comportamento di funzioni 𝑦=𝑔(𝑥) molto semplici, ottenute come somma, prodotto o composizione di funzioni dei tipi sopra indicati; in particolare determina il segno e gli zeri di tali funzioni, affrontando così lo studio di equazioni del tipo g(x)=0 e disequazioni del tipo 𝑔(𝑥)>0”

È stato omesso il riferimento alla determinazione dell’insieme di definizione di una funzione che, invece, compare nel liceo scientifico:

“rappresenta e descrive il comportamento di semplici funzioni g ottenute come somma, prodotto o composizione di funzioni dei tipi sopra indicati; in particolare, determina l’insieme di definizione, il segno e gli zeri della funzione g, affrontando così lo studio di equazioni del tipo g(x)=0 e disequazioni del tipo g(x)>0”.

Il confronto con le Indicazioni nazionali del 2010 porta subito alla considerazione che l’ambito di contenuto conteneva, nel titolo, anche il termine “relazioni” (“Relazioni e funzioni”). Ciò, a prima vista, sembrerebbe poco significativo, ma in realtà potrebbe contenere un’indicazione implicita (nelle Indicazioni del 2010) a introdurre il concetto di funzione come particolare sottoinsieme di un prodotto cartesiano (quindi come particolare relazione), che è un modo forse eccessivamente astratto per molte studentesse e molti studenti. È vero che anche nelle Indicazioni del 2026 si fa riferimento al linguaggio insiemistico, ma si parla di sviluppo progressivo del linguaggio insiemistico e nulla vieta di considerare la funzione semplicemente come macchina che prende valori da un insieme di INPUT e li elabora restituendo, per ogni INPUT, uno e un solo OUTPUT (che è una caratterizzazione molto più concreta e il cui significato è accessibile a studenti o studentesse di un primo biennio di liceo).

Le funzioni a cui si fa riferimento esplicito nelle Indicazioni del 2010 sono f(x) = ax+ b; f(x) = ax² + bx + c; f(x) = |x|; f(x) = a/x.

Quelle a cui si fa riferimento nelle Indicazioni del 2026 sono invece f(x) = x; f(x) = x²; f(x) = x³; f(x) = 1/x; f(x) = √x; f(x) = |x|. Poi si indica che, a partire da queste, si descriveranno i grafici di af(x), f(ax), f(x – b), f(x) + c.

Sembra che non vi siano molte differenze, se non l’introduzione di qualche tipologia di funzione in più nelle Indicazioni del 2026; in realtà l’impostazione data nelle Indicazioni del 2026 può portare a semplificare la trattazione delle equazioni e disequazioni di secondo grado. Se, infatti, si parte dalla funzione definita da f(x) = a(x – h)² + k, che si ottiene applicando alla funzione definita da f(x) = x² alcune delle trasformazioni sopra indicate, il calcolo degli eventuali zeri può essere condotto senza alcuna formula risolutiva, semplicemente applicando le operazioni inverse: a(x – h)² + k = 0 — > a(x – h)² = – k — > se a ≠0, (x – h)² = – k/a — > se k/a ≤0, |x – h| =√(-k/a) — > x₁ = h – √(-k/a) , x₂ = h + √(-k/a) .

Le disequazioni di secondo grado, una volta determinati, se esistono, gli zeri, possono essere risolte per via grafica. Le equazioni della forma ax² + bx + c = 0 possono essere risolte riconducendole, con il metodo del completamento del quadrato, alla forma a(x – h)² + k = 0.

Inoltre, nelle Indicazioni del 2010 si fa esplicito riferimento agli elementi della teoria della proporzionalità diretta e inversa, riferimento che non compare nelle Indicazioni del 2026.

Geometria

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
Inoltre, lo studente utilizza le coordinate cartesiane e il linguaggio algebrico per descrivere una figura tramite un sistema di equazioni e disequazioni, e, viceversa, interpreta e rappresenta geometricamente l’insieme delle soluzioni di un sistema dato. In questo modo comprende che alcuni problemi si possono affrontare sia geometricamente sia algebricamente e riconosce vantaggi e svantaggi dei diversi approcci
misura gli angoli in gradi e in radianti
riconosce e interpreta i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo come funzioni goniometriche; utilizza tali funzioni e le loro inverse per determinare le misure mancanti di lati o angoli in triangoli rettangoli
Infine, nel corso del biennio, lo studente apprende l’uso dei vettori, sia come segmenti orientati, sia come liste ordinate di numeri, al fine di descrivere enti geometrici ed enunciare semplici proprietà. In particolare, lo studente: determina, sia algebricamente, sia mediante una costruzione geometrica, la somma e la combinazione lineare di due vettori con coefficienti assegnati; individua le componenti di un vettore lungo due direzioni date, sia graficamente che algebricamente

Quello che accomuna gli obiettivi del liceo scientifico con quelli dei licei classico e linguistico è l’approccio euclideo alla geometria e la dimostrazione di alcuni teoremi che vengono esplicitamente indicati. Ciò che caratterizza le differenze sono, invece:

un approfondimento dell’uso delle coordinate cartesiane appena accennato (nell’incipit della parte relativa al tema Geometria) nelle Indicazioni per i licei classici e linguistici e proposto come obiettivo specifico nelle Indicazioni per i licei scientifici;
l’introduzione dei primi elementi di trigonometria (relativamente ai triangoli rettangoli), che non compare negli obiettivi dei licei classico e linguistico;
l’introduzione di elementi di calcolo vettoriale, che non compare negli obiettivi dei licei classico e linguistico.

Nelle Indicazioni del 2010 compaiono in più, rispetto alle Indicazioni del 2026, le costruzioni con riga e compasso, lo studio delle coniche nel piano cartesiano e un riferimento ai teoremi che permettono la risoluzione dei triangoli (in generale, non limitata ai triangoli rettangoli). Non compare invece l’algebra dei vettori, ma perché era stata inserita nel tema “Aritmetica e Algebra”.

Infine, le Indicazioni del 2010 sono meno precise nell’elencare i teoremi che devono essere oggetto di dimostrazione, mentre quelle del 2026 sono molto precise su questo punto: “il Teorema di Pitagora e il suo inverso, le proprietà dei parallelogrammi, la relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza, i teoremi di Euclide, i criteri di similitudine per i triangoli”.

Ciò ovviamente non toglie libertà all’insegnante di dimostrare anche altro, ma riduce la responsabilità di scegliere che cosa è fondamentale dimostrare.

Sempre allo scopo di dare suggerimenti operativi per un necessario ridimensionamento degli obiettivi delle Indicazioni, ricordo qui quello che ho già scritto in precedenza: le Indicazioni potrebbero essere ancora più chiare suggerendo esplicitamente di lavorare con l’approccio delle isole deduttive, evitando i lunghi tempi richiesti per la presentazione e costruzione del sistema teorico euclideo.

Analisi di dati, statistica e probabilità

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
calcola la varianza e la deviazione standard	calcolare la distanza interquartile, rappresentarla graficamente, e interpretarla come indice di dispersione

Come si vede, le differenze tra i diversi tipi di Liceo sono minime. Ci si può chiedere perché, nel liceo scientifico, non compaia l’obiettivo di calcolare la distanza interquartile e di utilizzarla come indice di dispersione: il fatto che in questo tipo di Liceo si introducano varianza e deviazione standard non dovrebbe comportare la rinuncia all’obiettivo di conoscere e saper utilizzare un indice di dispersione più semplice e dal significato più intuitivo.

Le Indicazioni del 2010 sono meno precise in termini di conoscenze, ma non differiscono in modo significativo dalle Indicazioni del 2026.

Informatica

Su questo tema non vi sono differenze tra gli obiettivi indicati nelle tre diverse tipologie di Liceo, se non che quando ci si riferisce a esempi significativi di algoritmi, nei licei classico e linguistico si precisa “la ricerca e l’ordinamento per una sequenza di numeri o di parole”, mentre nel liceo scientifico non si produce alcun esempio.

Nelle Indicazioni del 2010 si fa cenno al conseguimento dei concetti di funzione calcolabile e di calcolabilità che, invece, non compaiono nelle Indicazioni del 2026.

Lo spazio dato all’informatica si conclude con il primo biennio: il tema informatica non compare più nel secondo biennio e nel quinto anno. Ciò non mi sembra coerente con lo spazio che è stato dato all’informatica nelle Indicazioni del primo ciclo (dove c’è anche molta attenzione al suo sviluppo graduale fin dalla scuola primaria) e rischia di provocare un po’ di disorientamento nell’insegnante.

Osservo anche che i concetti e i metodi dell’informatica elencati nelle Indicazioni del 2026 non sono poi così diversi da quelli già indicati a livello del primo ciclo. Se è vero che la riproposta di certi contenuti in cicli scolari diversi non è mai una semplice ripetizione, ma comporta una riflessione più approfondita e, quindi, acquisizione di maggiore consapevolezza, è anche vero che, in genere, nel passaggio da un ciclo scolare a uno successivo, accanto alla ripresa di certi argomenti, se ne propongono nuovi proprio perché la maggiore consapevolezza e l’approfondimento di certi concetti consente l’apertura al nuovo. In assenza o quasi di nuovi contenuti, forse sarebbe stato opportuno evitare di inserire informatica all’interno della matematica (limitandosi a segnalare l’esigenza di avere un approccio critico e consapevole agli strumenti dell’intelligenza artificiale) suggerendo, però, un approccio più algoritmico alla matematica (quindi meno legato alle tecniche di calcolo simbolico).

Anche questo sarebbe andato a favore di una riduzione della densità e della eccessiva numerosità di obiettivi e contenuti. Naturalmente si aprirebbe il problema di dove inserire l’informatica, nel caso in cui si ritenesse che, quanto conseguito a livello di scuola del primo ciclo, non fosse sufficiente per quel che riguarda la formazione alla cittadinanza.

Linguaggio degli insiemi e delle funzioni, logica e linguaggio verbale

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
descrivere tipici modi e algoritmi per elencare e contare gli elementi di insiemi finiti costruiti secondo certe regole, usando anche i concetti di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva; ad esempio: l’insieme dei sottoinsiemi di un insieme; il prodotto cartesiano; l’insieme delle permutazioni; l’insieme dei sottoinsiemi che hanno k elementi di un insieme con n elementi.

Questo tema non compare esplicitamente nelle Indicazioni del 2010, ma ritengo sia molto importante, perché suggerisce di usare la logica come strumento per acquisire consapevolezza e precisione nel linguaggio ordinario, ma anche per riflettere sulle “specificità dell’uso matematico di parole come e, o, non, se … allora”. Si tratta quindi di utilizzare la logica e il linguaggio insiemistico per avvicinarsi gradualmente alla razionalità del discorso matematico che, spesso, differisce dalla razionalità del discorso comune o di altri campi disciplinari.

Le differenze tra le tre tipologie di Liceo che ho preso in considerazione per le Indicazioni del 2026 consistono semplicemente che nel Liceo scientifico compaiono elementi di calcolo combinatorio, mentre nelle altre due tipologie di Liceo questi elementi non compaiono.

Sempre nella prospettiva di una riduzione degli obiettivi, potrebbe essere utile non considerare come prescrittiva la competenza indicata nella tabella sopra: si rinuncia a una matematica bella, caratterizzata da problemi interessanti e coinvolgenti, ma che forse può non essere ritenuta necessaria per la formazione alla cittadinanza.

Obiettivi specifici di apprendimento e conoscenze (secondo biennio)

Proseguiamo, allo stesso modo, con il secondo biennio.

Funzioni e Modelli

Liceo scientifico

Liceo classico e Liceo linguistico

Lo studente è in grado di rappresentare il grafico e descrivere il comportamento delle funzioni del tipo y = ax + b, y = m(x-p)² + q, , y = cx^k , y = ca^x, y = asen(kx +𝜑)

Lo studente è in grado di rappresentare il grafico e descrivere il comportamento delle funzioni del tipo y = ax + b, y = m(x-p)² + q, y = cx^k

Inoltre, lo studente è in grado di:

parametrizzare semplici curve, ad esempio un segmento, una circonferenza, una parabola, una spirale;

dimostrare, in semplici situazioni, che una funzione è monotona in un dato intervallo, oppure non lo è;

determinare con opportuni ragionamenti il valore massimo e minimo, quando esistono, insieme ai punti in cui vengono assunti

Infine, lo studente è in grado di discutere qualche esempio di come, tramite un modello di regressione o di classificazione, basato su funzioni lineari e su semplici reti neurali, si può descrivere un fenomeno o affrontare un problema di riconoscimento. In particolare, nel contesto degli esempi considerati, lo studente comprende il problema di individuare opportuni parametri che rendano un modello adeguato agli scopi prefissati ed è in grado di descrivere alcune idee intuitive per la loro ricerca, idee che sono alla base dei primi algoritmi di apprendimento automatico nell’ambito dell’intelligenza artificiale. Negli esempi, lo studente è inoltre in grado di riconoscere i principi su cui i modelli si fondano e il tipo di conoscenza che essi consentono di ottenere sul mondo.

Inoltre, lo studente è in grado di:

illustrare le proprietà della funzione esponenziale 𝑓(𝑘)=𝑎^𝑘, con k intero non negativo, e di usarla come modello per descrivere l’evoluzione di fenomeni naturali; giustificare la sua estensione ai numeri interi negativi e ai numeri razionali, anche facendo riferimento al suo significato in diversi contesti;

riconoscere e interpretare i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo come funzioni goniometriche; motivare l’estensione di tali funzioni all’insieme dei numeri reali e rappresentare qualitativamente i loro grafici;

illustrare il comportamento delle funzioni del tipo y = asen(kx +𝜑) e usarle per descrivere fenomeni ondulatori

Lo studente comprende come i problemi di determinare l’area delle figure e le tangenti alle curve motivano lo studio dei processi di approssimazione e conducono ai concetti di integrale, derivata e limite di successioni e funzioni. Lo studente è in grado di usare tali concetti in modo intuitivo per analizzare il comportamento delle famiglie di funzioni e modelli che conosce. In particolare, lo studente è in grado di:

illustrare un’idea intuitiva di integrale di una funzione, basata sulla nozione di area del sottografico e sull’approssimazione con funzioni costanti a tratti, e di interpretarne il significato in diversi contesti;

illustrare il concetto di rapporto incrementale di una funzione in un intervallo e spiegarne l’interpretazione sia come pendenza di un’opportuna retta secante al grafico, sia come velocità media;

illustrare un’idea intuitiva della derivata di una funzione f in un punto x come valore limite del rapporto incrementale, interpretando la derivata come velocità istantanea o come pendenza del grafico;

descrivere e disegnare il grafico della funzione derivata, in semplici casi, anche per funzioni definite a tratti;

illustrare una nozione intuitiva di limite di una successione e di una funzione e le sue proprietà.

La varietà di funzioni indicate come obiettivi da conseguire per il Liceo scientifico e per i Licei classico e linguistico non cambia: ciò che cambia è la gradualità con cui si suggerisce di introdurre le funzioni circolari e la funzione esponenziale (prima con esponente naturale, poi intero, poi razionale nei licei classico e linguistico).

Nel liceo scientifico, al contrario che nelle altre due tipologie di liceo, si indica come obiettivo la parametrizzazione di alcune curve e si accenna alla produzione di qualche esempio di algoritmi di apprendimento caratteristici dell’intelligenza artificiale. Le forti differenze che caratterizzano gli obiettivi legati allo studio, anche locale, della variazione di grandezze legate da una dipendenza funzionale sono dovute al fatto che, nel secondo biennio dei licei scientifici, è previsto come ambito di contenuto “Elementi di calcolo differenziale e integrale” che, invece, non è previsto nel secondo biennio dei licei linguistico e classico. In queste tipologie di liceo lo studio della variazione di grandezze legate da una dipendenza funzionale è di carattere intuitivo, una sorta di pre-analisi che consente di utilizzare, però, metodi assai utili per l’applicazione, per esempio, nel campo della fisica.

Il confronto con le Indicazioni del 2010 non è immediato, perché andrebbe condotto prendendo in considerazione, nelle Indicazioni del 2010, sia una parte dell’ambito “Aritmetica e Algebra” (dove si parla dello studio “della formalizzazione dei numeri reali anche come introduzione alla problematica dell’infinito matematico”) sia l’ambito “Relazioni e Funzioni” dove si parla di studio delle successioni numeriche e delle “funzioni elementari dell’analisi e, in particolare, delle funzioni esponenziali e logaritmo” e, soprattutto, come elemento specifico di pre-analisi, si fa riferimento al “concetto di variazione di velocità di variazione di un processo rappresentato mediante una funzione”.

Le conoscenze e gli obiettivi specifici di apprendimento elencati nell’ambito di contenuto “Funzioni e Modelli” delle Indicazioni del 2026 sono sicuramente importanti dal punto di vista sia culturale sia strumentale e devono sicuramente far parte della formazione di una studentessa o di uno studente che completa il percorso liceale. Averli introdotti a livello di secondo biennio ha una sua logica e funzionalità per l’aiuto che la conoscenza di queste tecniche e concetti può dare al corso parallelo di fisica: è però evidente che, soprattutto nelle scuole con solo due ore di matematica alla settimana (per esempio nei licei classico e linguistico), è improbabile che questi obiettivi possano davvero essere conseguiti se non si ha il coraggio di fare dolorose rinunce in altri ambiti.

Geometria e Algebra

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
Nel secondo biennio, a partire dall’intuizione e dalle proprietà degli enti geometrici euclidei, lo studente sviluppa il linguaggio dei vettori e delle coordinate cartesiane, e le relazioni tra descrizioni geometriche e algebriche di figure e trasformazioni. Anche grazie al linguaggio delle funzioni lineari, tali strumenti vengono estesi allo spazio tridimensionale e applicati allo studio di rette, piani e coniche, rafforzando la capacità di passare tra diversi linguaggi nella risoluzione di problemi e nella modellizzazione	Nel secondo biennio, a partire dall’intuizione e dalle proprietà degli enti geometrici euclidei, lo studente sviluppa il linguaggio dei vettori e delle coordinate cartesiane, e le relazioni tra descrizioni geometriche e algebriche di figure e trasformazioni
interpretare le soluzioni di un sistema lineare come decomposizioni di un vettore rispetto a un insieme di vettori assegnati
discutere la risolubilità di un sistema lineare e determinarne le soluzioni, ad esempio con il metodo di eliminazione di Gauss, riconoscendo vantaggi e limitazioni di diversi approcci; riconoscere che sistemi di questo tipo si trovano nello studio della regressione e delle reti neurali
scrivere l’equazione di una conica traslata rispetto alla posizione canonica
Lo studente è in grado di operare nell’insieme C dei numeri complessi e trovare il reciproco dei numeri diversi da zero; rappresentare i numeri complessi come punti del piano; scriverli in forma trigonometrica; interpretare geometricamente le operazioni; trovare le soluzioni di una qualsiasi equazione di secondo grado, essendo consapevole dell’origine storica dei “numeri immaginari” in connessione con il problema di determinare le soluzioni delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo

Ho accennato in precedenza all’opportunità di ridurre la densità degli argomenti proposti per evitare che il conseguimento degli obiettivi elencati non rimanga un’aspirazione non realizzata. Forse nel tema “Geometria e Algebra” la Commissione avrebbe potuto essere più coraggiosa. Se i temi legati all’introduzione di elementi di pre-analisi e di algebra vettoriale, anche come occasione per un approccio più consapevole agli strumenti di intelligenza artificiale, in particolare ai modelli linguistici di grandi dimensioni, sono da considerarsi essenziali (e io condivido questa idea), allora si sarebbe potuto rinunciare a indicare esplicitamente, per esempio, gli obiettivi legati allo studio delle coniche (che compaiono anche nei licei classico e linguistico come obiettivi 4-5-6-7 dell’elenco).

Si tratta certo di un tema che ha una rilevanza anche storica, che è radicato nella prassi didattica e a cui si dedica in genere molto tempo. Si tratta quindi di una rinuncia dolorosa e coraggiosa al tempo stesso, ma penso necessaria, soprattutto nelle scuole che prevedono un quadro orario di due sole ore settimanali.

Nelle Indicazioni del 2010 il riferimento agli elementi di pre-analisi è appena accennato, quasi nascosto e non c’è alcun riferimento a esempi legati agli algoritmi su cui si fondano alcuni sistemi di intelligenza artificiale: è quindi necessario, nel momento in cui si introducono nuovi argomenti, rinunciare a qualcosa, soprattutto essendo consapevoli che già le precedenti Indicazioni sono state considerate, da molti addetti ai lavori, eccessivamente ambiziose.

Elementi di calcolo differenziale e integrale

Questo tema compare, nel secondo biennio, solo nelle Indicazioni per il Liceo scientifico (anche nelle sue opzioni di Liceo sportivo e delle Scienze applicate).

Gli obiettivi elencati per questo tema sono numerosi e richiedono tempo per essere appresi e interiorizzati. Se si considera il fatto che si tratta di obiettivi che si aggiungono a quelli previsti dalle Indicazioni del 2010 nel secondo biennio dei licei scientifici, appare chiaro che le scelte dolorose a cui prima ho accennato (o altre che eventualmente si dovessero ritenere meno dolorose, ma altrettanto incisive) andrebbero davvero fatte.

Tra gli obiettivi delle Indicazioni del 2026 compare “illustrare la definizione del concetto di limite e le sue proprietà…”. Temo che, in assenza di ulteriori precisazioni, ciò implichi, nella maggior parte delle interpretazioni possibili, pensare all’introduzione del concetto di limite à la Weierstrass, con il suo valore fondante per i concetti di funzione continua, di derivata e integrale. Penso che ciò rischierebbe di risultare esiziale per una comprensione dei concetti e delle tecniche del calcolo integro-differenziale: la definizione di limite à la Weierstrass è infatti quanto di più lontano ci sia dall’intuizione. Si fonda su tre quantificatori in successione, ciascuno dei quali rischia, metaforicamente, di essere un salto cognitivo mortale. Forse sarebbe stato meglio precisare che i primi elementi di calcolo integrale e differenziale possono essere introdotti, come suggerisce anche la storia della matematica, utilizzando i metodi à la Newton-Leibniz, senza eccessivo timore di perdere in rigore. La definizione di limite à la Weierstrass potrebbe invece costituire la conclusione di un percorso di analisi pre-universitario: un modo per riflettere sulla carenza logica degli strumenti utilizzati da Newton e Leibniz e per aiutare le studentesse e gli studenti ad avere un’idea delle esigenze di rigore che diedero vita alla cosiddetta “aritmetizzazione dell’analisi”.

Analisi di dati, statistica e probabilità

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
costruire e leggere il grafico di dispersione di un insieme di dati relativo a due variabili numeriche e comprendere il significato della correlazione lineare in quanto indice del modo in cui due variabili tendono a crescere o decrescere insieme, riconoscendo limiti, possibili abusi interpretativi e casi in cui la correlazione non implica causalità; collegare la correlazione lineare alla retta di regressione	interpretare la varianza e la deviazione standard di una distribuzione di dati in una variabile come indici di dispersione; riconoscere eventi indipendenti, calcolare probabilità condizionate e applicare la formula di Bayes in contesti quotidiani, interpretandone il significato
riconoscere come i metodi per trattare due variabili si estendono al caso di molte variabili	determinare le distribuzioni relative agli esiti di semplici esperimenti aleatori ideali, in particolare la distribuzione binomiale; usare il concetto intuitivo di distribuzione continua e di funzione di ripartizione, per calcolare la probabilità di eventi di interesse
Infine, al termine del secondo biennio, lo studente è in grado di accedere a un set di dati reali e utilizzarlo in modo appropriato, avvalendosi, quando opportuno, di metodi e strumenti dell’informatica.

Il confronto tra gli obiettivi previsti per il liceo scientifico e quelli previsti per i licei classico e linguistico possono lasciare a prima vista sorpresi e interdetti: i licei con meno ore settimanali di matematica hanno diversi obiettivi che non compaiono nell’elenco del liceo scientifico. Il riferimento alla varianza e alla deviazione standard si spiega con il fatto che questo argomento è stato oggetto di studio nel primo biennio del liceo scientifico e qui viene recuperato. Invece la probabilità condizionata, il teorema di Bayes e le distribuzioni discrete e continue non compaiono nell’elenco degli argomenti del primo e del secondo biennio dei licei scientifici, mentre compaiono in quello dei licei classico e linguistico. Si tratta di argomenti caratterizzati da una certa complessità concettuale, anche maggiore di quelli che compaiono nella prima colonna della precedente tabella e che sono specifici per il liceo scientifico. L’anomalia si spiega, parzialmente, se si guarda al quinto anno: infatti, nei licei scientifici, questi argomenti sono previsti al quinto anno. Il problema, però, è che nel secondo biennio dei licei classico e linguistico, che hanno solo due ore settimanali di matematica, sono previsti obiettivi che richiedono più tempo, per essere raggiunti, di quelli previsti per il liceo scientifico, che può contare su quattro ore settimanali, cioè il doppio.

Le Indicazioni del 2010 per i licei scientifici su questo tema sono molto simili a quelle previste per i licei classico e linguistico dalle Indicazioni del 2026 (a parte il riferimento alla correlazione e regressione, presenti in quelle del 2010 e solo in quelle per i licei scientifici del 2026).

Obiettivi specifici di apprendimento e conoscenze (quinto anno)

Proseguiamo, allo stesso modo, con il quinto anno.

Elementi di analisi matematica

Liceo scientifico	Liceo classico e Liceo linguistico
giustificare una formula per la derivata della composizione di due funzioni derivabili, e della funzione inversa, quando esistono	illustrare la definizione del concetto di limite e le sue proprietà
discutere le informazioni che la derivata prima e seconda permettono di ottenere sull’andamento della funzione di partenza e usarle per studiare il comportamento e tracciare il grafico di funzioni in situazioni di interesse, avendo obiettivi determinati e adottando conseguenti strategie	giustificare una formula per la derivata di alcune semplici funzioni, in particolare della funzione esponenziale, della funzione logaritmo e delle funzioni seno e coseno
enunciare le principali proprietà delle funzioni continue e delle funzioni derivabili; illustrarne il significato, organizzandole in una costruzione teorica di connessioni e catene deduttive, senza necessariamente dimostrare tutte le affermazioni, ma avendo compreso la necessità delle ipotesi nei teoremi;	scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto
ricostruire il grafico qualitativo di una funzione a partire dal grafico della derivata prima	enunciare il Teorema fondamentale del Calcolo e illustrare il suo significato e qualche applicazione
enunciare il Teorema fondamentale del Calcolo e utilizzarlo per calcolare l’integrale di alcune funzioni di interesse, trovando una primitiva con semplici strategie
illustrare il significato del Teorema fondamentale in situazioni e contesti di altre discipline
Lo studente conosce esempi di equazioni differenziali e ne interpreta il significato in diversi contesti (ad esempio il decadimento radioattivo, la crescita di una popolazione, il moto armonico, la vibrazione di una corda), anche essendo consapevole del ruolo delle condizioni iniziali o al contorno per avere l’esistenza e l’unicità di una soluzione. Inoltre, esplora equazioni differenziali cercandone le soluzioni anche per tentativi o in opportune famiglie di funzioni dipendenti da parametri	Questo tema, leggermente ridimensionato, compare fra gli obiettivi del liceo classico, ma non del liceo artistico.
Lo studente è infine in grado di illustrare l’origine storica delle equazioni differenziali in connessione con la formulazione delle leggi della meccanica e della gravitazione universale da parte di Isaac Newton, nonché di discutere come questo nuovo modo di descrivere la Natura ha influito sulla nascita della scienza moderna e sul pensiero filosofico	Questo tema, compare fra gli obiettivi del liceo classico, ma non del liceo artistico.

Come si può osservare, gli obiettivi previsti per il liceo scientifico sono molto più ambiziosi e numerosi di quelli previsti per i licei classico e linguistico che, consistono, in larga parte, nel recupero di alcuni di quegli obiettivi previsti nel secondo biennio nei licei scientifici e non presenti, almeno nella forma espressa nell’ambito “Elementi di calcolo differenziale e integrale”, nei licei classico e linguistico.

Mi chiedo se, però, non sarebbe stato più ragionevole, per quel che riguarda gli obiettivi dei licei classico e linguistico per il quinto anno, limitarsi ai due seguenti:

calcolare la derivata prima di semplici funzioni e discutere le informazioni che la derivata permette di ottenere sull’andamento della funzione di partenza; applicare queste proprietà per risolvere problemi in diversi contesti;
enunciare il Teorema fondamentale del Calcolo e illustrare il suo significato e qualche applicazione.

In fondo ci si potrebbe accontentare del conseguimento di questi due obiettivi in scuole che non prevedono il compito scritto di matematica all’esame di maturità.

Modelli statistici

Questo tema compare, nel quinto anno, solo nelle Indicazioni per il Liceo scientifico (anche nelle sue opzioni di Liceo sportivo e delle scienze applicate).

I punti essenziali sono:

la probabilità condizionata e il teorema di Bayes (con applicazioni su esempi concreti legati alla vita quotidiana);
le distribuzioni statistiche discrete (uniforme discreta e binomiale) e continue (normale);
esempi di utilizzazione di questi concetti nei sistemi di intelligenza artificiale generativa.

Le Indicazioni del 2010 relativamente a questo tema precisavano fra i contenuti anche la distribuzione di Poisson.

Approfondimenti

La parte degli approfondimenti, che conclude gli obiettivi specifici di apprendimento e le conoscenze del quinto anno, è stata specificamente pensata per le varie tipologie di liceo.

Per esempio, nel liceo classico, si suggeriscono come possibili approfondimenti “qualche teoria assiomatica – come le Geometrie non euclidee o i numeri naturali di Peano; modelli formali del linguaggio e del ragionamento, dall’epoca classica all’era dell’intelligenza artificiale; gli insiemi infiniti, numerabili e non numerabili; i poliedri e le simmetrie; le relazioni tra matematica, scienza e filosofia.”

Per il liceo linguistico si suggeriscono i seguenti: “la logica del linguaggio naturale e del linguaggio formale; i modelli matematici e informatici del linguaggio e dell’informazione; i dati e le rappresentazioni quantitative nella comunicazione scientifica, giornalistica e istituzionale; i grafi e le reti come modelli di relazioni sociali, comunicative e digitali; la statistica e della probabilità nell’analisi di fenomeni sociali, economici e culturali; l’elaborazione automatica del linguaggio, con particolare attenzione ai Large Language Models e ai loro limiti interpretativi e comunicativi”.

Per il liceo scientifico i suggerimenti sono i seguenti: “qualche teoria assiomatica – come le Geometrie non euclidee o i numeri naturali di Peano; gli insiemi infiniti, numerabili e non numerabili; i grafi e le reti; i sistemi dinamici; i codici e la crittografia; i sistemi di intelligenza artificiale e apprendimento automatico”, con una piccola intersezione con i suggerimenti dati per il liceo classico.